# 31. Собственные векторы, собственные значения.

Пусть A – действительная числовая квадратная матрица размера (). Ненулевой вектор размера (), удовлетворяющий условию

называется собственным вектором матрицы . Число в равенстве называется собственным значением. Говорят, что собственный вектор соответствует (принадлежит) собственному значению .

Последнее равенство равносильно однородной относительно системе:

Система имеет ненулевое решение для вектора (при известном ) при условии . Это равенство есть характеристическое уравнение:

.

где – характеристический многочлен -й степени.

Корни характеристического уравнения являются собственными (характеристическими) значениями матрицы , а соответствующие каждому собственному значению , ненулевые векторы , удовлетворяющие системе , являются собственными векторами.

Определение в контексте линейных операторов.

Если в линейном пространстве каждому вектору по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор этого же пространства, то говорят, что в данном пространстве задан линейный оператор . Т.о., линейный оператор – функция, трансформирующая объект в пространстве.

Условия линейности оператора: для всех :

1. ;
2. ).

Собственный вектор – понятие, определяемое для произвольного линейного оператора как ненулевой вектор, применение к которому оператора дает коллинеарный вектор – тот же вектор, умноженный на некоторое скалярное значение (которое может быть равно 0). Скаляр, на который умножается собственный вектор под действием оператора, называется собственным числом (значением) линейного оператора, соответствующим данному собственному вектору. Одним из представлений линейного оператора является квадратная матрица, поэтому собственные векторы и собственные значения часто определяются в контексте использования таких матриц.

У каждой матрицы размера есть от 0 до собственных чисел и 0 или собственных векторов.

Задача линейной алгебры состоит в нахождении собственных значений и собственных векторов заданной матрицы.

Особенности собственных векторов и значений:

1. Если для собственного значения найден собственный вектор , то вектор , где – произвольное число, также является собственным вектором, соответствующим этому же собственному значению .
2. Попарно различным собственным значениям соответствуют линейно независимые собственные векторы; -кратному корню характеристического уравнения соответствует не более линейно независимых собственных векторов.
3. Симметрическая матрица (т.е. ) имеет полный спектр действительных собственных значений; -кратному корню характеристического уравнения симметрической матрицы соответствует ровно линейно независимых собственных векторов.
4. Множество всех собственных векторов линейного оператора, соответствующих данному собственному числу, дополненное нулевым вектором, называется собственным подпространством этого оператора.