# 32. Разложение по собственным векторам.

Спектральное разложение матрицы (разложение матрицы по собственным векторам, также называемое каноническим разложением) – это представление квадратной матрицы в виде произведения трёх матриц:

где – матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы ; – диагональная матрица с соответствующими собственными значениями на главной диагонали; – матрица, обратная матрице .

Теорема: – нормальная матрица, тогда и только тогда, когда , где унитарна и диагональна.

Любая нормальная матрица – унитарно диагонализируема. Это означает, что она может быть приведена к диагональному виду с помощью унитарной матрицы . Другими словами, каждая нормальная матрица имеет ортогональный базис из собственных векторов.

Спектральное разложение может использоваться для нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы, решения систем линейных уравнений, обращения матрицы, нахождения определителя матрицы и вычисления аналитических функций от матриц. Спектр – множество собственных значений матрицы.

Для динамических систем с матрицей , спектр может много сообщить о поведении системы (например, о её устойчивости). Однако для не нормальных матриц, спектр может быть неустойчивым относительно малых возмущений матрицы. Для измерения подобных возмущений было разработана концепция псевдоспектра. (обобщение спектра для не нормальных матриц). Формально псевдоспектр определяется как: .

Для малых и нормальных это круги вокруг собственных значений, для не нормальных матриц, структура может сильно отличаться. Псевдоспектр находится через сингулярное разложение (SVD) матрицы для разных . Для неквадратных матриц вместо спектрального разложения также используют SVD.

Разрешив матричное уравнение относительно диагональной матрицы, можно получить другое соотношение: .

Диагональную матрицу также называют матрицей линейного преобразования в базисе из собственных векторов. О дному и тому же линейному преобразованию в разных базисах в общем случае соответствуют разные матрицы (в частности, матрицы и в нашем примере). И наиболее удобным из них как раз и является базис из собственных векторов (в случае его существования).

Более того, все матрицы конкретного линейного преобразования в одном и том же векторном пространстве имеют один и то же характеристический многочлен.