# 48. Обыкновенные дифференциальные уравнения, численное дифференцирование. Типы ОДУ.

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) – это уравнение, связывающее неизвестную функцию 𝑦 = 𝑦(𝑥) с её производными по одной независимой переменной 𝑥. Формально ОДУ записывается как: 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦″, … , ) = 0,
где 𝑦′ , 𝑦″ , … , — первая, вторая, ..., 𝑛-ная производные функции 𝑦, а 𝐹 — заданное выражение. Порядок ОДУ определяется наивысшей производной, входящей в уравнение.

Численное дифференцирование – процесс приближённого вычисления производной функции на основе её дискретных значений.
Важность:
– Используется, когда аналитические производные недоступны (например, функция задана сложным выражением или известна только по точкам).
– Применяется в задачах с дискретными данными (например, экспериментальные измерения).
Цель: Вычислить 𝑓′() в точке с заданной точностью.
Основные понятия:
– Сетка: Набор точек на отрезке [𝑎, 𝑏], где известны 𝑓()
– Шаг сетки: = − , может быть постоянным или переменным
– Точность: Ошибка приближения ≤ , где 𝐶 – константа, ℎ – шаг, 𝑡 – порядок точности

P.S. Представьте, что у вас есть график функции, но вы знаете её значения только в некоторых точках. Численное дифференцирование помогает найти наклон этого графика (производную) в этих точках, используя разницу между значениями функции. Это как если бы вы измеряли скорость автомобиля по его положению в разные моменты времени.

Типы ОДУ:
- По порядку: первого порядка (𝑦′), второго порядка (𝑦″) и т.д.
- По линейности: линейные (производные входят линейно) и нелинейные.
- По типу: автономные (не зависят явно от 𝑥) и неавтономные.

Примеры ОДУ:
1. Первого порядка: = −𝑘𝑦, описывающее экспоненциальный распад, где 𝑘 > 0.
2. Второго порядка: , уравнение гармонического осциллятора,
моделирующее колебания.