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Einen mehrdimensionalen Vektor kann man als unabhängige Auswahl (Wert) von mehreren Variablen (Kategorien, Größen, Dimensionen) verstehen.
Die Werte (Zahl+Einheit) müssen unabhängig addierbar sein.
Die jeweiligen Einheiten sind die Einheitsvektoren. Sie bilden zusammen die Basis und werden deshalb auch Basisvektoren genannt.
Auch eine Auswahl aus einer Variable ist ein Vektor, ein eindimensionaler Vektor.
Der gesamte Vektor kann mit einer Zahl, dem Skalar, multipliziert werden und ergibt wieder ein Vektor.
Beispiel
Wenn ich in einen Laden gehe, dann sind die Produkte darin mein Vektorraum (Koordinatensystem, KS) und mein Einkaufskorb ist ein Vektor, d.h. eine Fixierung der Werte (wieviel?) von jeder Variable (hier Produkt).
Wenn meine Frau auch einkaufen gegangen ist, addieren sich unsere Einkäufe zu hause unabhängig, d.h. Milch + Milch, Butter + Butter, …
Eine Matrix transformiert eine Vektor in einem Vektorraum zu einem Vektor in einem anderen Vektorraum. Deshalb lernen wir zuerst den Vektor kennen. Eine Matrix ergibt sich, wenn wir von einem KS zu einem anderen wechseln wollen.
Beispiel
Wenn man etwa die Zutaten von einer Auswahl von Kuchenrezepten als Vektorraum auffasst, dann ist jeder Kuchen \(z\) ein Vektor im Zutatenvektorraum, d.h. wir wählen unabhängige (Wert \(z_i\)) aus jeder Zutat (Variable \(i\)) (0 für nicht verwendet).
Wenn man nur die Kuchen betrachtet, dann ist eine Auswahl daraus ein Vektor \(y\) im Kuchenvektorraum. Jedes \(y_j\) ist die Anzahl der Kuchensorte \(j\).
Will man von einer Auswahl von Kuchen auf die Zutaten kommen, dann ist das mathematisch eine Koordinatentransformation. Um die Gesamtmenge \(z_i\) zu erhalten muss man die Anzahl von jeder Kuchensorte \(y_j\) mit der jeweiligen Zutatmenge multiplizieren. Das läuft auf eine Matrixmultiplikation hinaus.
\(z = ZK \cdot y = \sum_j ZY_{ij}y_j\)
In \(ZK\) ist jede Spalte ein Rezept, d.h. Zutaten (Komponenten) für den Kuchen \(j\).
Um auf den Preis \(p\) im Preisvektorraum zu kommen (d.h. was kosten alle Zutaten für eine Auswahl von Torten) multiplizieren wir wieder
\(p = PZ \cdot z = PZ_{1i} z_i\)
\(PZ\) ist eine Matrix mit einer Zeile. Die Anzahl von Zeilen ist die Dimension des Zielvektorraumes.
Als Spalte von Zahlen \(\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\) Die Einheitsvektoren, d.h. was die Zeilen bedeuten, gibt man separat an.
Explizit mit Einheiten ausgeschrieben. \(\vec{x}=x_1\vec{e_1}+x_2\vec{e_2}\) (3 Milchpackungen + 5 Butter) Wenn ohne Pfeil ist mit Index oben die Zahl gemeint und mit Index unten die Einheit (Dimension,Richtung): \(x=x^1e_1+x^2e_2\).
Notation is nicht der Vektor selbst.
Es gibt neben der Addition zwei weitere wichtige Vektorverknüpfungen.
Skalarprodukt (dot-product). Es ergibt eine Zahl (Skalar), welche die Abhängigkeit darstellt oder inwieweit man unabhängig Werte auswählen kann.
Orthogonale Vektoren ergeben 0.
Bei parallelen Vektoren ist es das Produkt der Längen. Die Länge eines Vektors \(\vec{x}\) ist damit \(\sqrt{\vec{x}\vec{x}}\). Länge wird als \(|\vec{x}|\) oder einfach nur \(x\) notiert.
\(\vec{x_o}=\frac{\vec{x}}{x}\) ist der Einheitsvektor (Länge 1, Richtung von \(\vec{x}\))
Das skalare Produkt definiert den Winkel zwischen 2 Vektoren: \(\cos\alpha = \frac{\vec{x}\vec{y}}{xy}\)
Vektorprodukt oder Kreuzprodukt (cross-product). Für Dimension \(= 3\). Es ergibt einen Vektor der orthogonal zu \(\vec{x}\) und \(\vec{y}\) ist und die Länge ist die Fläche des von \(\vec{x}\) und \(\vec{y}\) aufgespannten Parallelogramms.
Wenn \(\vec{x}\) und \(\vec{y}\) zweidimensional sind, ist nur die \(\vec{e_3}\) Komponente von \(\vec{x}\times\vec{y}\) ungleich 0, die dann gleich \(\begin{vmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix}\) ist. Zum Vergleich: Die Determinante von 3 Vektoren im 3D Raum ist das Volumen des aufgespannten Parallelepipeds.